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998
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1000
by O O
taking O O
the O O
complex O O
conjugate B B
of O O
this O O
equation O O
and O O
subtracting O O
the O O
original O O
equation O O
, O O
and O O
then O O
forming O O
the O O
inner O O
product O O
with O O
eigenvector O O
ui O O
, O O
show O O
that O O
the O O
eigenvalues O O
λi O O
are O O
real O O
. O O
the O O
parameter O O
ν O O
is O O
called O O
the O O
degrees B B
of I I
freedom I I
, O O
and O O
its O O
effect O O
is O O
illustrated O O
in O O
figure O O
2.15. O O
for O O
the O O
particular O O
case O O
of O O
ν O O
= O O
1 O O
, O O
the O O
t-distribution O O
reduces O O
to O O
the O O
cauchy O O
distribution O O
, O O
while O O
in O O
the O O
limit O O
ν O O
→ O O
∞ O O
the O O
t-distribution O O
st O O
( O O
x|µ O O
, O O
λ O O
, O O
ν O O
) O O
becomes O O
a O O
gaussian O O
n O O
( O O
x|µ O O
, O O
λ O O
−1 O O
) O O
with O O
mean B B
µ O O
and O O
precision O O
λ. O O
from O O
( O O
2.158 O O
) O O
, O O
we O O
see O O
that O O
student O O
’ O O
s O O
t-distribution O O
is O O
obtained O O
by O O
adding O O
up O O
an O O
infinite O O
number O O
of O O
gaussian O O
distributions O O
having O O
the O O
same O O
mean B B
but O O
different O O
preci- O O
sions O O
. O O
from O O
this O O
we O O
obtain O O
σ O O
( O O
wtφ O O
) O O
= O O
( O O
4.146 O O
) O O
( O O
cid:6 O O
) O O
( O O
cid:6 O O
) O O
( O O
cid:6 O O
) O O
( O O
cid:6 O O
) O O
σ O O
( O O
wtφ O O
) O O
q O O
( O O
w O O
) O O
dw O O
= O O
σ O O
( O O
a O O
) O O
p O O
( O O
a O O
) O O
da O O
( O O
4.147 O O
) O O
where O O
( O O
cid:6 O O
) O O
p O O
( O O
a O O
) O O
= O O
4.5. O O
bayesian O O
logistic B B
regression I I
219 O O
δ O O
( O O
a O O
− O O
wtφ O O
) O O
q O O
( O O
w O O
) O O
dw O O
. O O
9.13 O O
( O O
( O O
cid:12 O O
) O O
( O O
cid:12 O O
) O O
) O O
using O O
the O O
re-estimation O O
equations O O
for O O
the O O
em O O
algorithm O O
, O O
show O O
that O O
a O O
mix- O O
ture O O
of O O
bernoulli O O
distributions O O
, O O
with O O
its O O
parameters O O
set O O
to O O
values O O
corresponding O O
to O O
a O O
maximum O B
of O O
the O O
likelihood B B
function I I
, O O
has O O
the O O
property O O
that O O
k O O
( O O
cid:2 O O
) O O
n O O
( O O
cid:2 O O
) O O
n=1 O O
e O O
[ O O
x O O
] O O
= O O
1 O O
n O O
xn O O
≡ O O
x O O
. O O
the O O
latter O B
problem O O
can O O
be O O
solved O O
by O O
first O O
running O O
the O O
forward-backward O B
( O O
sum-product O O
) O O
algorithm O O
to O O
find O O
the O O
latent B B
variable I I
marginals O O
γ O O
( O O
zn O O
) O O
and O O
then O O
maximizing O O
each O O
of O O
these O O
individually O O
( O O
duda O O
et O O
al. O O
, O O
2001 O O
) O O
. O O
, O O
n O O
, O O
together O O
with O O
a O O
cor- O O
responding O O
sum-of-squares B B
error I I
function O O
defined O O
by O O
averaging O O
over O O
the O O
distribution O O
of O O
input O O
noise O O
to O O
give O O
( O O
cid:6 O O
) O O
n O O
( O O
cid:2 O O
) O O
e O O
= O O
1 O O
2 O O
n=1 O O
{ O O
y O O
( O O
xn O O
− O O
ξn O O
) O O
− O O
tn O O
} O O
2 O O
g O O
( O O
ξn O O
) O O
dξn O O
. O O
because O O
βφtφ O O
is O O
a O O
positive B O
definite I I
matrix I O
, O O
it O O
will O O
have O O
positive O O
eigenvalues O O
, O O
and O O
so O O
the O O
ratio O O
λi/ O O
( O O
λi O O
+ O O
α O O
) O O
will O O
lie O O
between O O
0 O O
and O O
1. O O
consequently O O
, O O
the O O
quantity O O
γ O O
defined O O
by O O
( O O
3.91 O O
) O O
will O O
lie O O
in O O
the O O
range O O
0 O O
( O O
cid:1 O O
) O O
γ O O
( O O
cid:1 O O
) O O
m. O O
for O O
directions O O
in O O
which O O
λi O O
( O O
cid:12 O O
) O O
α O O
, O O
the O O
corresponding O O
parameter O O
wi O O
will O O
be O O
close O O
to O O
its O O
maximum B B
likelihood I I
value O O
, O O
and O O
the O O
ratio O O
λi/ O O
( O O
λi O O
+ O O
α O O
) O O
will O O
be O O
close O O
to O O
1. O O
such O O
parameters O O
are O O
called O O
well O O
determined O O
because O O
their O O
values O O
are O O
tightly O O
constrained O O
by O O
the O O
data O O
. O O
we O O
can O O
, O O
however O O
, O O
obtain O O
a O O
good O O
approx- O O
imation O O
( O O
spiegelhalter O O
and O O
lauritzen O O
, O O
1990 O O
; O O
mackay O O
, O O
1992b O O
; O O
barber O O
and O O
bishop O O
, O O
1998a O O
) O O
by O O
making O O
use O O
of O O
the O O
close O O
similarity O O
between O O
the O O
logistic B B
sigmoid I I
function O O
σ O O
( O O
a O O
) O O
defined O O
by O O
( O O
4.59 O O
) O O
and O O
the O O
probit B B
function I I
φ O O
( O O
a O O
) O O
defined O O
by O O
( O O
4.114 O O
) O O
. O O
the O O
results O O
( O O
6.66 O O
) O O
and O O
( O O
6.67 O O
) O O
define O O
the O O
predictive B B
distribution I I
for O O
gaussian O O
pro- O O
cess O O
regression B B
with O O
an O O
arbitrary O O
kernel B O
function I O
k O O
( O O
xn O O
, O O
xm O O
) O O
. O O
60 O O
1. O O
introduction O O
1.12 O O
( O O
( O O
cid:1 O O
) O O
( O O
cid:1 O O
) O O
) O O
www O O
using O O
the O O
results O O
( O O
1.49 O O
) O O
and O O
( O O
1.50 O O
) O O
, O O
show O O
that O O
e O O
[ O O
xnxm O O
] O O
= O O
µ2 O O
+ O O
inmσ2 O O
( O O
1.130 O O
) O O
where O O
xn O O
and O O
xm O O
denote O O
data O O
points O O
sampled O O
from O O
a O O
gaussian O O
distribution O O
with O O
mean B B
µ O O
and O O
variance B B
σ2 O O
, O O
and O O
inm O O
satisfies O O
inm O O
= O O
1 O O
if O O
n O O
= O O
m O O
and O O
inm O O
= O O
0 O O
otherwise O O
. O O
the O O
geodesic B O
distance I O
between O O
any O O
pair O O
of O O
points O O
is O O
then O O
approximated O O
by O O
the O O
sum O O
of O O
the O O
arc B O
lengths O O
along O O
the O O
shortest O O
path O O
connecting O O
them O O
( O O
which O O
itself O O
is O O
found O O
using O O
standard O O
algorithms O O
) O O
. O O
many O O
of O O
the O O
modern O O
approaches O O
to O O
computer O O
vision O O
exploit O O
this O O
property O O
by O O
extracting O O
local B O
features O O
that O O
depend O O
only O O
on O O
small O O
subregions O O
of O O
the O O
image O O
. O O
classical B O
dynamics O O
is O O
de- O O
scribed O O
by O O
newton O O
’ O O
s O O
second O O
law O O
of O O
motion O O
in O O
which O O
the O O
acceleration O O
of O O
an O O
object O O
is O O
proportional O O
to O O
the O O
applied O O
force O O
, O O
corresponding O O
to O O
a O O
second-order O O
differential B O
equa- O O
tion O O
over O O
time O O
. O O
to O O
determine O O
the O O
corresponding O O
weight O B
associ- O O
ated O O
with O O
a O O
sample O O
z O O
( O O
l O O
) O O
, O O
we O O
note O O
that O O
the O O
sampling O O
distribution O O
( O O
cid:4 O O
) O O
q O O
( O O
z O O
) O O
is O O
uniform O B
over O O
the O O
possible O O
choices O O
for O O
z O O
, O O
and O O
that O O
( O O
cid:4 O O
) O O
p O O
( O O
z|x O O
) O O
= O O
( O O
cid:4 O O
) O O
p O O
( O O
z O O
) O O
, O O
where O O
x O O
denotes O O
the O O
subset O O
of O O
variables O O
that O O
are O O
observed O O
, O O
and O O
the O O
equality O O
follows O O
from O O
the O O
fact O O
that O O
every O O
sample O O
z O O
that O O
is O O
generated O O
is O O
necessarily O O
consistent B B
with O O
the O O
evidence O B
. O O
we O O
begin O O
by O O
considering O O
the O O
functional B B
form O O
of O O
the O O
network O O
model O O
, O O
including O O
the O O
specific O O
parameterization O O
of O O
the O O
basis O O
functions O O
, O O
and O O
we O O
then O O
discuss O O
the O O
prob- O O
lem O O
of O O
determining O O
the O O
network O O
parameters O O
within O O
a O O
maximum B B
likelihood I I
frame- O O
work O O
, O O
which O O
involves O O
the O O
solution O O
of O O
a O O
nonlinear O O
optimization O O
problem O O
. O O
this O O
leads O O
naturally O O
to O O
a O O
generative O O
view O O
of O O
such O O
models O O
in O O
which O O
we O O
first O O
select O O
a O O
poinl O O
within O O
the O O
manifold B B
according O O
to O O
some O O
latent B B
variable I I
distribution O O
and O O
then O O
generate O O
an O O
observed O O
data O O
point O O
by O O
: O O
ldding O O
noise O O
, O O
drawn O O
from O O
some O O
conditional B B
distribution O O
of O O
the O O
data O O
varillbles O O
given O O
the O O
latent O B
varillbles O O
. O O
the O O
cross O O
entropy B B
and O O
the O O
gini O O
index O O
are O O
better O O
measures O O
than O O
the O O
misclassification O O
rate O O
for O O
growing O O
the O O
tree B B
because O O
they O O
are O O
more O O
sensitive O O
to O O
the O O
node B B
probabilities O O
. O O
we O O
then O O
use O O
this O O
posterior O O
distri- O O
bution O O
to O O
evaluate O O
the O O
expectation B B
of O O
the O O
logarithm O O
of O O
the O O
complete-data O O
likelihood B B
function I I
, O O
as O O
a O O
function O O
of O O
the O O
parameters O O
θ O O
, O O
to O O
give O O
the O O
function O O
q O O
( O O
θ O O
, O O
θold O O
) O O
defined O O
by O O
( O O
cid:2 O O
) O O
q O O
( O O
θ O O
, O O
θold O O
) O O
= O O
p O O
( O O
z|x O O
, O O
θold O O