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2024/math-differential-geometry-1.md

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-title: 可视化微分几何和形式 (上)
+title: 可视化微分几何和形式 (Part 1)
 description: 青山遮不住, 毕竟东流去. 江晚正愁余, 山深闻鹧鸪.
 date: 2023-10-06
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@@ -13,4 +13,4 @@ https://www.ituring.com.cn/book/2996
 > `2021` 年最佳数学书籍: `复分析: 可视化方法`;
 > `2022` 年最佳数学书籍: `泛函分析导论及应用`;
 > `2023` 年: __跳票__;
-> `2024` 年最佳数学书籍: `可视化微分几何和形式`;
+> `2024` 年最佳数学书籍: `可视化微分几何和形式`.

2024/quantum-computation-1.md

@@ -85,6 +85,16 @@ RSA 的加密信息仍需要比当前量子计算机的规模扩大五个数量
 
 ## 量子力学基础
 
+### 线性代数
+
+```
+在我们看来, 认同量子力学公设的主要障碍不是公设本身,
+而是为理解它们所需要的大量的线性代数概念.
+再加上量子力学中被物理学家采用的不常用的狄拉克 (Dirac) 符号.
+```
+
+> 注: 原文为狄拉克`记号`, 但显然`符号`更主流.
+
 - 向量空间中向量的标准量子力学记号为
   $$ \mid ψ \rangle $$
   - $$ ψ $$
@@ -166,15 +176,139 @@ RSA 的加密信息仍需要比当前量子计算机的规模扩大五个数量
     $$ 0 \mid v \rangle = 0 $$.
 - 很容易看出, 一旦线性算子在基上的行为确定, __A__ 在所有输人上的行为也就确定了.
 
-### 线性代数
+---
+
+- __泡利矩阵__
+  - $$
+      I \equiv
+      \begin{bmatrix}
+        1 & 0 \\
+        0 & 1
+      \end{bmatrix}
+    $$
+  - $$
+      X \equiv
+      \begin{bmatrix}
+        0 & 1 \\
+        1 & 0
+      \end{bmatrix}
+    $$
+  - $$
+      Y \equiv
+      \begin{bmatrix}
+        0 & -i \\
+        i & 0
+      \end{bmatrix}
+    $$
+  - $$
+      Z \equiv
+      \begin{bmatrix}
+        1 & 0 \\
+        0 & -i
+      \end{bmatrix}
+    $$
+
+---
+
+- 假设
+  $$ \mathbf{A} : \mathbf{V} \to \mathbf{W} $$
+  是向量空间 __V__ 和 __W__ 之间的线性算子.
+  $$ \mid v_1 \rangle $$,
+  ...,
+  $$ \mid v_m \rangle $$
+  是 __V__ 的一组基,
+  $$ \mid w_1 \rangle $$,
+  ...,
+  $$ \mid w_n \rangle $$
+  是 __W__ 的一组基. 则对
+  `1`, ..., `m` 中任意的 `j` 存在复数
+  $$ A_{1j} $$
+  到
+  $$ A_{nj} $$,
+  使得
+  - $$
+      \mathbf{A} \mid v_j \rangle =
+      \sum_{i} \mathbf{A}_{ij} \mid w_i \rangle
+    $$
+- 我们称这个元素为
+  $$ A_{ij} $$
+  的矩阵形成了算子 __A__ 的一个矩阵表示. __A__ 的矩阵表示完全等价于算子 __A__,
+  因而我们将交替使用矩阵和算子的概念.
+  - 需要注意的是, 为了建立矩阵和线性算子之间的联系,
+    我们需要为线性算子的输入和输出向量空间各指定一组输入和输出基矢态.
+
+---
+
+- 内积
+  $$ (\mid v \rangle, \mid w \rangle) $$
+  的标准量子力学记号是
+  $$ \langle v \mid w \rangle $$,
+  其中
+  $$ \mid v \rangle $$
+  和
+  $$ \mid w \rangle $$
+  是内积空间的向量, 记号
+  $$ \langle v \mid $$
+  是向量
+  $$ \mid v \rangle $$
+  的对偶向量; 对偶是从内积空间 __V__ 映射到复数
+  $$ \mathbb{C} $$
+  的一个线性算子, 其中
+  $$
+    \mid v \rangle (\mid w \rangle) \equiv
+    \langle v \mid w \rangle \equiv
+    (\mid v \rangle, \mid w \rangle)
+  $$.
+  - 对偶向量的矩阵表示就是一个行向量.
+- 一个从
+  $$ \mathbf{V} \times \mathbf{V} $$
+  到复数空间
+  $$ \mathbb{C} $$
+  的函数
+  $$ (\cdot, \cdot) $$,
+  如果满足下面的要求:
+  - $$ (\cdot, \cdot) $$
+    对于第二个参数是线性的:
+    $$
+      (\mid v \rangle, \sum_{i} \lambda_{i} \mid w_i \rangle) =
+      \sum_i \lambda_{i} (\mid v \rangle, \mid w_i \rangle)
+    $$
+  - $$
+      (\mid v \rangle, \mid w \rangle) =
+      (\mid w \rangle, \mid v \rangle)^{*}
+    $$
+  - $$ (\mid v \rangle, \mid v \rangle) \ge 0 $$,
+    当且仅当
+    $$ \mid v \rangle = 0 $$
+    时等式成立.
+- 则称函数
+  $$ (\cdot, \cdot) $$
+  是一个内积.
+  - 例如,
+    $$ \mathbb{C}^{n} $$
+    中的内积定义为
+  - $$
+      ((y_{1}, ..., y_{n}), (z_{1}, ..., z_{n})) \equiv
+      \sum_{i} y_{i}^{*} z_{i} =
+      [y_{1}^{*}, ..., y_{n}^{*}]
+      \begin{bmatrix}
+        z_{1} \\
+        \vdots \\
+        z_{n}
+      \end{bmatrix}
+    $$
+- 我们称定义了内积的向量空间为`内积空间`.
 
 ```
-在我们看来, 认同量子力学公设的主要障碍不是公设本身,
-而是为理解它们所需要的大量的线性代数概念.
-再加上量子力学中被物理学家采用的不常用的狄拉克 (Dirac) 符号.
+量子力学的讨论总是关系到希尔伯特空间.
+在量子计算和量子信息中出现的有限维复向量空间中,
+希尔伯特空间和内积空间完全相同. 从现在开始,
+我们交替使用这两个术语, 较多用希尔伯特空间这个术语.
+在无限维度, 希尔伯特空间满足内积空间之上和之外的技术限制, 我们不需要担心.
 ```
 
-> 注: 原文为狄拉克`记号`, 但显然`符号`更主流.
+> 再次重申, 本书只讨论`有限维`~
+
 
 ## 量子计算机: 物理实现
 

2024/references.md

@@ -1,5 +1,5 @@
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-title: 一些参考网页的链接
+title: 参考链接及其它
 description: 楚塞三湘接, 荆门九派通. 江流天地外, 山色有无中.
 date: 2023-12-21
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@@ -15,3 +15,10 @@ date: 2023-12-21
 ### Quantum mechanics
 
 - [List of equations in quantum mechanics](https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_equations_in_quantum_mechanics)
+
+### 一些有灵性的中文翻译
+
+- unitary
+  - 幺正, 酉
+  - 汉语中, 幺, 即为, 一
+  - 酉, 音译