up

2024/math-differential-geometry-1.md

@@ -599,9 +599,122 @@ date: 2023-10-06
     $$ \mathbb{C} $$
     的反射.
 - 反演是反共形映射, 将圆周映射为圆周.
+- __复反演是黎曼球面的旋转__. 考虑在这个几何反演后接着取共轭,
+  $$ z \longmapsto \overline{z} $$,
+  那么最终的结果就是复反演. 但是, 共轭对黎曼球面的作用是另一种反射,
+  这次是关于经过实轴的纵向平面的反射. 你可以很容易地验证,
+  两个关于经过实轴的纵向平面的反射的复合是围绕该轴的一个旋转:
+  - 复反演
+    $$ z \longmapsto (1 / z) $$
+    是黎曼球面绕实轴旋转角度
+    $$ π $$.
+    因此它是共形的, 将圆周映射到圆周.
+
+> 复分析: Page 282
+
+- __保角性和保圆性__. 默比乌斯变换是共形的,
+  它将每一个定向圆周
+  $$ K $$
+  映射为定向圆周
+  $$ \tilde{K} $$,
+  并将
+  $$ K $$
+  前进方向左侧的区域映射为
+  $$ \tilde{K} $$
+  前进方向左侧的区域.
+
+- [射影坐标/齐次坐标](https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_coordinates)
+
+- 正如
+  $$ \mathbb{R}^2 $$
+  空间中的线性变换都可以用一个
+  $$ 2 \times 2 $$
+  的实矩阵表示一样,
+  $$ \mathbb{C}^2 $$
+  空间中的线性变换都可以用一个
+  $$ 2 \times 2 $$
+  的复矩阵表示.
+
+- 于是, 每一个默比乌斯变换
+  $$ M(z) $$
+  对应一个
+  $$ 2 \times 2 $$
+  矩阵
+  $$ [M] $$,
+  - $$
+      M(z) = \frac{az + b}{cz + d}
+      \longleftrightarrow
+      [M] =
+      \begin{bmatrix}
+        a & b \\
+        c & d
+      \end{bmatrix}
+    $$.
+- 而且, 表示两个默比乌斯变换的复合的矩阵就是两个对应矩阵的乘积:
+  - $$ [ M_2 \circ M_1 ] = [ M_2 ] [ M_1 ] $$.
+- 同样, 表示默比乌斯逆变换的矩阵就是对应矩阵的逆矩阵:
+  - $$ [ M^{-1} ] = [ M ]^{-1} $$.
+- 由此易得: 非奇异默比乌斯变换构成一个群, 这是我们前面提到过的事实.
+- 因为默比乌斯变换的系数不是唯一的,
+  所以默比乌斯变换对应的矩阵也不是唯一的: 如果
+  $$ k $$
+  是任意非零常数, 则矩阵
+  $$ k [M] $$
+  与
+  $$ [M] $$
+  对应同一个默比乌斯变换.
+  - 然而, 如果限定
+    $$ (ad - bc) = 1 $$,
+    将矩阵
+    $$ [M] $$
+    `规范化`, 那么一个默比乌斯变换的对应矩阵就只有两种可能:
+  - 一个是
+    $$ [M] $$,
+    另一个是
+    $$ - [M] $$.
+  - 换言之, 默比乌斯变换对应的矩阵在`"不计正负号的情况下"`是唯一的.
 
 ### 主要结果
 
+- 所有三种常曲率几何的对称群
+  $$ \mathcal{G}_{+} (\mathcal{S}) $$
+  都是默比乌斯变换群的子群.
+  - __欧几里得几何__
+    $$ (\mathcal{K} = 0) $$:
+  - $$ E(z) = e^{iθ}z + k $$.
+  - 注意
+    $$ z \longmapsto \overline{z} $$
+    是反向等距变换, 是关于实轴的反射. 于是整个等距变换群是
+    $$ \mathcal{G} = \{ E(z) \} \cup \{ E(\overline{z}) \} $$.
+  - __球极地图中的球面几何__
+    $$ (\mathcal{K} = +1) $$:
+  - $$ S(z) = \frac{a z + b}{- \overline{b} z + \overline{a}} $$,
+    其中
+    $$ |a|^{2} + |b|^{2} = 1 $$.
+  - 注意
+    $$ z \longmapsto \overline{z} $$
+    是反向等距变换, 是球面关于过实轴的纵向平面的反射. 于是整个等距变换群是
+    $$ \mathcal{G} = \{ S(z) \} \cup \{ S(\overline{z}) \} $$.
+  - __庞加莱半平面地图中的双曲几何__
+    $$ (\mathcal{K} = -1) $$:
+  - $$ H(z) = \frac{az + b}{cz + d} $$,
+    其中 `a`, `b`, `c`, `d` 为实数, 且
+    $$ (ad - bc) = 1 $$.
+  - 注意
+    $$ z \longmapsto - \overline{z} $$
+    是反向等距变换, 是关于虚轴的反射. 于是整个等距变换群是
+    $$ \mathcal{G} = \{ H(z) \} \cup \{ H(- \overline{z}) \} $$.
+- 有了关于矩阵的结果, 就容易证明以上三个集合都是群.
+  我们还注意到, 在球面几何中的矩阵是一种特殊类型, 在物理学中起着重要作用.
+  - 这类矩阵称为`酉矩阵`, 也就是说, 将它取共轭, 再做转置 (这两个操作的复合记为
+    $$ * $$
+    ), 则可得到逆变换的矩阵:
+  - $$ S $$
+    是`酉矩阵`, 意味着
+    $$ [S] [S]^{*} = 单位矩阵 $$.
+
+> 酉矩阵! 哈哈哈~
+
 ### 爱因斯坦的时空几何学
 
 ### 三维双曲几何

2024/programming.md

@@ -15,6 +15,67 @@ go install golang.org/x/tools/cmd/deadcode@latest
 
 ---
 
+
+---
+
+- [Robust generic functions on slices](https://go.dev/blog/generic-slice-functions)
+  - `Delete` need not allocate a new array,
+    as it shifts the elements in place.
+    Like `append`, it returns a new slice.
+  - Many other functions in the `slices` package
+    follow this pattern, including
+    `Compact`, `CompactFunc`, `DeleteFunc`,
+    `Grow`, `Insert`, and `Replace`.
+  - When calling these functions we must consider
+    the original slice invalid, because the
+    underlying array has been modified.
+  - `go vet` 应该检测这些~
+  - Out of pragmatism, we chose to modify the implementation
+    of the five functions `Compact`, `CompactFunc`, `Delete`,
+    `DeleteFunc`, `Replace` to "clear the tail".
+  - The code changed in the five functions uses the new
+    built-in function `clear` (Go 1.21) to set the obsolete
+    elements to the zero value of the element type.
+
+```go
+first, second, third, fourth := 11, 22, 33, 44
+s := []*int{&first, &second, &third, &fourth}
+
+if len(s) >= 4 {
+  s = slices.Delete(s, 2, 3)
+  fmt.Println("New length is", len(s))
+}
+
+for _, v := range s {
+  fmt.Println(*v)
+}
+
+// New length is 3
+// 11
+// 22
+// 44
+```
+
+```go
+first, second, third, fourth := 11, 22, 33, 44
+s := []*int{&first, &second, &third, &fourth}
+
+if len(s) >= 4 {
+  s := slices.Delete(s, 2, 3)
+  fmt.Println("New length is", len(s))
+}
+
+for _, v := range s {
+  fmt.Println(*v)
+}
+
+// New length is 3
+// 11
+// 22
+// 44
+// panic: runtime error: invalid memory address or nil pointer dereference
+```
+
 - [Warp](https://www.warp.dev)
   - Warp is the terminal reimagined with AI and
     collaborative tools for better productivity.